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线代知识回顾

Vectors

一般记作 a 或者 a

Normalization

记作 a

Unit vector: a^=a/a

Dot Product

ab=abcosa,b

cosa,b=abab

对于单位向量,cosa,b=ab

Projection

b 投影到 a 上:

b=ka^=bcosa,ba^

Matrices

Identity Matrix and Inverses

AA1=A1A=I

(AB)1=B1A1

Transformations

实质是对每个点的坐标进行变换。

x=Ax

Scaling

A=[sx00sy]

Reflection

沿 y 轴反射:

A=[1001]

Shear

A=[1a01]

Rotation

以原点为中心逆时针旋转 θ

A=[cosθsinθsinθcosθ]

Linear Transforms

M=[abcd]

v=Mv

Translation

平移不是线性变换。

x=x+txy=y+ty
(xy)=(xy)+(txty)

Affine Transforms

仿射变换是线性变换和平移的组合。

(xy)=[abcd](xy)+(txty)

Homogeneous Coordinates

齐次坐标,将 2D 坐标转换为 3D 坐标。

(xy1)=[abtxcdty001](xy1)

Inverse Transform

将变换后的坐标转换回原坐标,其代表的变换矩阵为原变换矩阵的逆矩阵。

v=Mvv=M1v

Matrix Determinants

3 维空间中,三个向量组成的平行六面体的体积,为三个向量组成的行列式的绝对值。

Eigenvectors and Eigenvalues

特征值和特征向量。

Av=λv

λ 为特征值,v 为特征向量。

Eigen Decomposition

A=QΛQ1

其中,Q 为特征向量矩阵,Λ 为特征值矩阵。

PCA (Principal Component Analysis)

主成分分析,是一种降维技术。寻找特征空间中的方向,使得数据在这些方向上的投影方差最大。

先将数据中心化,即将横纵坐标减去均值。

A=[x1y1x2y2xnyn]

矩阵 ATA 有两个特征向量,对应两个特征值。

其中较大的特征值对应的特征向量即为主成分,特征值为此方向上的方差。