量子测量与量子图灵机

量子态演化

波函数

波函数是量子力学的基本假设，最简单的形式是 $\varphi (x)=A{e}^{i(p/\hslash )x}$，表示了粒子在某一位置的概率幅。$\Vert \varphi (x){\Vert }^2$ 表示了粒子在该位置的概率密度。满足归一化条件，即对整个空间积分为 1。

哈密顿量

表示为 $H$，是一个厄米算符。作用于系统的波函数上，产生系统的能量和动力学演化。

由动力项和势能项组成。

• 动能项描述了系统中粒子的运动能量，通常用动量算符和质量来表示。
• 势能项描述了系统中粒子之间的相互作用和受到的外部场的影响，可以是位置算符和外部势场的函数。

$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\overline{r})$$

哈密顿量表达式的第一项实则为粒子的动能，第二项是一个空间位置的函数，即势能函数，表示粒子处在不同位置时的势能。

$$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\frac{{\hat{\mathbf{p}}}^2}{2m}+V(\mathbf{r},t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{r},t)$$

哈密顿量的本征值是系统能量的可能取值，对应的特征向量是在该能量取值下的状态向量。

薛定谔方程与量子态演化

$H$ 可以和时间有关，也可以独立与时间。若与时间独立，则薛定谔方程为：

$$i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$$

移项后积分：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{i\hslash }{|\psi (t)⟩}\mathrm{d}|\psi (t)⟩& ={\int }_{t_1}^{t_2}\hat{H}\mathrm{d}t\\ i\hslash (\ln |\psi (t_2)⟩-\ln |\psi (t_1)⟩)& =\hat{H}(t_2-t_1)\end{array}$$

得到：

$$|\psi (t_2)⟩=e^{\frac{-i\hat{H}\mathrm{\Delta }t}{\hslash }}|\psi (t_1)⟩$$

设 $t_1=0,t_2=t$，则：

$$|\psi (t)⟩=e^{\frac{-i\hat{H}t}{\hslash }}|\psi (0)⟩=U|\psi (0)⟩$$

该式表明，量子态从初态到终态的演化可以由一个与 $H$ 有关的算子表示，该算子又被称为时间演化算子 $U$，且 $U$ 一定是幺正的。

线性与非线性量子态演化

根据量子力学原理，量子态演化过程由两部分组成：

1. 线性演化过程：如果一个物理系统没有被测量，它将按照薛定谔方程以一种确定的、线性的方式演化。
2. 非线性演化过程：如果对系统进行一个测量，系统将立即非线性地、随机地从初始的叠加态跃迁到正被测量的可观测量的一个本征态，这时，实验者就会感知到一个确定的观察值，即本征态相应的本征值。

即作用量子门时，量子态的演化是线性的，而测量量子态时，量子态的演化是非线性的。

量子测量

特征值与特征向量的几何意义

矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

特征值分解

向量 $\mathbf{v}$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值是 $\lambda$，则有：

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

特征值分解：

$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{-1}$$

其中 $\mathrm{\Lambda }$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵 $A$ 的特征值，$Q$ 是 $A$ 的特征向量组成的矩阵。

特征值分解的含义

矩阵 $A$ 的信息可以由其特征值和特征向量表示。

对于矩阵为高维的情况下，通过特征值分解得到的前 N 个特征向量，就对应了这个矩阵最主要的 N 个变化方向。利用这前 N 个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。

量子计算中的特征分解（谱分解）

只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。特征值的集合 $\{{\lambda }_i\}$，也称为“谱”（Spectrum）。厄米矩阵（共轭对称的方阵）属于正规矩阵，根据正规矩阵的性质可知，其可以对角化。

假设 $A$ 是一个复数域上的正规矩阵，特征值为 $\{{\lambda }_i\}$，标准正交基为 $\{|e_i⟩\}$，则有：

$$A=\sum _i^n{\lambda }_i|e_i⟩⟨e_i⟩$$

标准正交基的完备性方程为：

$$\sum _i^n|e_i⟩⟨e_i|=I$$

可通过完备性方程检验一组基是否是标准正交基。

投影算子

定义投影到单位向量 $|e_k⟩$ 上的投影算子为：

$$P_k=|e_k⟩⟨e_k|$$

满足性质：

• $P_k^2=P_k$
• $P_k{P}_j={\delta }_{kj}{P}_k$
• $\sum _k{P}_k=I$

则复数域上的正规矩阵 $A$ 可以表示为：

$$A=\sum _i^n{\lambda }_i|e_i⟩⟨e_i|=\sum _i^n{\lambda }_i{P}_i$$

因此 $A$ 作用于任何向量，其几何意义为：该向量投影到 $A$ 的各特征向量上，然后再以特征值 ${\lambda }_i$ 为权重进行线性组合。

量子测量

• 一般测量
• 投影测量
• POVM 测量

对于选定的观测性质，我们需要执行相应的测量算符。每个可能的测量结果都对应一个测量算符的特征值 ${\lambda }_i$，由可观测量 $|P|\psi ⟩{|}^2$ 描述。

投影测量的可观测量

可观测量由 $A$ 表示，为待观测系统上的厄米算子，可以写成谱分解的形式：

$$A=\sum _i^n{\lambda }_i{P}_i$$

测量的可能结果与 $A$ 的特征值 ${\lambda }_i$ 相对应。对状态 $|\psi ⟩$ 进行测量，得到的结果 $i$ 的概率为：

$$p_i=p(\lambda ={\lambda }_i)=⟨\psi |P_i^{†}{P}_i|\psi ⟩=⟨\psi |P_i|\psi ⟩$$

测量后的态坍缩为：

$$\frac{P_i|\psi ⟩}{\sqrt{p_i}}$$

观测量的平均值为：

$$E(A)=\sum _i^n{\lambda }_i{p}_i=⟨\psi |A|\psi ⟩=⟨A⟩$$

标准差：

$$\mathrm{\Delta }(A)=\sqrt{⟨(A-⟨A⟩{)}^2⟩}=\sqrt{⟨A^2⟩-{⟨A⟩}^2}$$

投影测量的测量算子

量子测量由投影算子的集合 $\{P_i\}$ 描述，投影算子是一类特殊的厄米算符，它的本征值为 0 或 1，其本征态形成了正交归一的完备基。

指标(index) $i$ 表示在实验上可能发生的结果。如果测量前的量子系统 处在最新状态 $|\psi ⟩$，那么结果发生的概率为:

$$p_i={\left|P_i|\psi ⟩\right|}^2=⟨\psi |P_i^{†}{P}_i|\psi ⟩=⟨\psi |P_i|\psi ⟩$$

设 $P_i$ 的本征态为 $|\alpha ⟩$，则概率还可以表示为：

$$p_{\alpha }={\left|⟨\psi |\alpha ⟩\right|}^2$$

量子线路和测量操作

把测量操作作为量子线路的一部分，有时也被称为测量门，原理即投影测量。

双比特量子电路整体测量

对于如下的双比特量子电路：

对其进行整体测量：

1. T1 时刻：

   $$\begin{array}{rl}|{\psi }_1⟩& =(X\otimes H)|00⟩\\ & =(\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right])|00⟩\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|10⟩+|11⟩)\end{array}$$

2. T2 时刻，经过 CNOT 门：

   $$\begin{array}{rl}|{\psi }_2⟩& =\mathrm{CNOT}|{\psi }_1⟩\\ & =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}(|10⟩+|11⟩)\end{array}$$

3. T3 时刻，进行整体测量，分别作用四个投影算子。

   • 使用测量操作 $M_{00}=|00⟩⟨00|$，测量结果为 00 的概率为：

     $$\begin{array}{rl}P(|00⟩)& =⟨{\psi }_2|M_{00}^{†}{M}_{00}|{\psi }_2⟩\\ & =⟨{\psi }_2|M_{00}|{\psi }_2⟩\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ & =0\end{array}$$

     可知，量子态不可能坍缩到 $|00⟩$。

   • 其他三种情况同理。

双比特量子电路部分测量

对于如下的双比特量子电路：

只对低位量子比特进行测量，则此时的两种测量矩阵为：

$$\begin{array}{rl}{M}_0^{q_0}& =M_{00}+M_{01}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ M_1^{q_0}& =M_{10}+M_{11}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

测量后得到的概率分别为：

$$\begin{array}{rl}{P}_{q_0}(|0⟩)& =⟨{\psi }_2|M_0^{q_0}|{\psi }_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]=0\\ P_{q_0}(|1⟩)& =⟨{\psi }_2|M_1^{q_0}|{\psi }_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]=1\end{array}$$

测量后，量子态坍缩为

$$|{\psi }_3⟩=\frac{M_1^{q_0}|{\psi }_2⟩}{\sqrt{P_{q_0}(|1⟩)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|10⟩+|11⟩)$$

量子态区分公设

量子测量的原理的一大应用是区分量子系统中不同的量子态。

• 如果一组态向量 $\{|{\psi }_i⟩\}$ 是正交的，那么可以定义测量算子 $M_i=|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$，对于其中的一个未知角标的态向量 $|{\psi }_k⟩$，用这组测量算子进行测量，只有当 $i=k$ 时，有：

  $$p(i)=⟨{\psi }_i|M_i|{\psi }_i⟩=1$$

  其他情况下，有 $p(i)=0$。这样就可以区分出不同的量子态。

• 如果态向量不正交，则不存在一组测量算子可以完全区分这些态向量，因为一个态向量可以分解为其他态向量上的分量，导致 $p(i)<1$。

通用量子门

通用量子门（Universal Quantum Gate）是一种能够在量子计算中实现任意量子操作的门。

以下的门集合是通用的：

• 单量子比特门和 CNOT 门是通用的。
• 通用门的标准集合，由 H 门、相位门、CNOT 门和 $\pi /8$ 门组成。
• H 门、相位门、CNOT 门和 Toffoli 门。

量子门分解

通用量子门可以用来对任意的酉操作进行近似。这种近似的方法被称为量子门分解（Quantum Gate Decomposition）或量子门逼近（Quantum Gate Approximation）。

基本思想：将目标酉操作分解为一系列更简单的量子门的乘积，通过合理选择和组合这些基本量子门，并对它们的参数进行调整，我们可以逐步逼近目标酉操作。

分解的精度取决于所使用的门集合和逼近方法的复杂程度。通常情况下，使用更多的门和更复杂的门序列可以提供更精确的逼近结果。

常见的量子门分解方法包括：

• 应用基于泰勒级数展开的逼近方法，将目标酉操作近似为一系列基本门的乘积。
• 利用通用量子门集合中的门进行分解。
• 使用优化算法，例如基于梯度下降的方法，找到适合的门序列和参数来逼近目标酉操作。

量子门分解代价

Solovay-Kitaev 定理表明，对任意的单量子比特门，如果要求精度为 $ϵ$，则需要 $\mathcal{O}({\log }^c(1/ϵ))$ 个门来逼近。对于有 $m$ 个门的量子系统以及精度为 $ϵ$ 的近似，需要 $\mathcal{O}(m{\log }^c(m/ϵ))$ 个门。

量子图灵机和量子电路模型

没啥写的。