数字特征¶
数学期望¶
离散型随机变量¶
期望
绝对可求和¶
要求
即
Note
条件
当这个条件不满足时,期望不存在。
连续性随机变量¶
设
存在条件:绝对可积,即
期望的性质¶
-
线性运算、加法定理
随机变量函数的数学期望¶
设
-
是离散型随机变量则
-
是连续型随机变量则
-
是混合型随机变量 有分布函数 ,则(黎曼积分)
方差¶
方差的定义¶
衡量随机变量偏差的大小。
标准差:
方差:
方差的计算¶
公式:
方差的性质¶
- 当
和 相互独立时, ,独立和的方差等于方差之和。 -
当
时,证明
-
Chebyshev 不等式¶
设
证明
设
推广
设
证明
应用¶
-
设
,则这种方法上界与真实值相差很大
-
设
,其中 未知,想要用 来估计 ,则试验次数 和精度 的大致关系:改进
令
,则 -
当
,则证明
即证
。对于
,有因此
证毕。
协方差¶
-
均值向量:
表示向量均值。 -
协方差:假设
和 的方差存在,令表示
和 的协方差。计算公式:
-
运算性质:
Cauchy-Schwarz 不等式¶
证明
不妨设
对于
则
即
协方差矩阵¶
假设
称为
协方差矩阵的性质¶
-
非负定,对于 ,有证明
-
如果
独立,则证明
定义
若
则称
如果
-
不相关并不意味着 独立。例
设
, , ,则但
因此
不独立。
二元联合正态分布
设
线性变换后的协方差矩阵¶
设
则随机向量
证明
设
又有
由于
相关系数¶
定义
称为
相关系数的性质¶
-
由 Cauchy-Schwarz 不等式可知
-
当
时,存在 ,使得即
和 是正线性相关的。证明
即证
。由
可知取
,有因此
证毕。
类似,当
时,存在 ,使得即
和 是负线性相关的。 -
有
“不相关”可以解释为“不线性相关”。
条件期望与全期望公式¶
离散型随机变量的条件期望¶
给定
要求
否则条件期望不存在。
连续型随机变量的条件期望¶
给定
要求
否则条件期望不存在。
二元联合正态分布的条件期望
给定
因此
令
即
全期望公式¶
设
即
结论
矩¶
k 阶矩(原点矩):
k 阶中心矩:
随机变量的分布是否由其矩唯一确定
一般情况下不能。
定理
设
若下列三个条件之一成立:
则
特征函数¶
设
为
计算公式:
特征函数的性质¶
-
证明
-
-
在 上一致连续证明
即证,对于
, ,有由
的定义可知固定
,设 ,则 ,使得则
其中
,对于 :因此
取
,则当 时,有证毕。
-
Bochner 非负定性
对任何实数
,复数 ,有证明
令
,则 -
可微性
设
存在且 ,则 可微则
类似,如果
,则 在 0 处可以进行 k 次展开:
特征函数的运算性质¶
-
令
的特征函数为 ,则Example
设
,则因此
-
乘法公式
若
相互独立,则 的特征函数为推广
若
相互独立,则 的特征函数为 -
唯一性问题:如果
,则推论
-
连续性情况
若
的特征函数 绝对可积,则 具有密度函数 ,且对偶公式
已知
,则Example
是一个特征函数,求其对应的密度函数。解
绝对可积,因此存在密度函数 ,且故
。 -
离散性情况
设
是一个特征函数,若且
则
Example
设
,则有因此
利用唯一性,可以利用已知的分布判断随机变量的分布。
Example
设
,求的分布。
解
-
先求
的特征函数 -
将其与正态分布的特征函数比较,可得
-
二元随机向量的特征函数¶
设
当
Example
设
解
假设
设
根据 3.2.2 节中的结论,有
因此
因此
回到原问题,已经得到当
原
因此
常见随机变量的期望、方差¶
离散型随机变量¶
退化分布
-
期望
-
方差
-
特征函数
二项 Bernoulli 分布
-
期望
-
方差
过程
使用方差的性质
令
表示第 次试验中成功的次数。则
-
特征函数
使用每次试验的独立性
Poisson 分布
-
期望
-
方差
过程
-
矩
证明
则
-
特征函数
几何分布
超几何分布
-
期望
令
表示第 次抽检时的次品个数。得到
,因此不放回抽样每次抽样同分布不独立
设
表示第 次抽检时抽到次品。由数学归纳法可知,
。
连续型随机变量¶
均匀分布
-
期望
-
方差
-
特征函数
指数分布
-
期望
-
方差
过程
-
特征函数
正态分布
-
期望
-
方差
过程
-
矩
设
,则证明
对于
,由于 是偶函数,因此 -
特征函数
Info
对于
,有得到
对于
,有得到
对于标准正态分布,有
。